LE NOMBRE D'OR










I-Historique

On suppose que le nombre d'or apparut pour la première fois à la préhistoire, lorsque les hommes apprirent à diviser un cercle en 5. C'est aux Grecs que l'on doit sa rigueur mathématique, mais certaines de ses propriétés ont été découvertes bien avant. En effet, le nombre d'or est présent dans des oeuvres ou monuments antérieures à l'antiquité grecque, telles que les pyramides d' Egypte. Euclide le définit le premier dans un traité écrit: Les éléments. Les recherches sur ce nombre sont ensuite approfondies notamment avec Fibonacci et sa suite.
Mais ce nombre n'avait pas encore été nommé. En 1509, Luca Pacioli publie un ouvrage intitulé La Divine Proportion, alors que Léonard de Vinci parle de "section dorée". Au XVIIe siècle, l'allemand Kepler le qualifie de "joyau de la géométrie". Ce n'est qu'en 1932 que le prince Roumain Matila Ghyka invente le terme de "nombre d'or".
Aujourd'hui on sait que le nombre d'or existe dans de nombreux ouvrages, mais aussi dans la nature (comme dans le coquillage nautile ).
 

II-Qu'est-ce que le nombre d'or?
 

*Le nombre d'or (noté þ en hommage au sculpteur grec Phidias du Ve siècle avant J-C) est considéré comme le rapport le plus harmonieux entre deux grandeurs. Le rapport entre le nombre le plus grand et le nombre le plus petit est alors égal au rapport entre la somme des deux nombres et le nombre le plus grand:
þ=   y =  x+y     On pose donc x=1 et y=þ
       x       y
þ=  1+þ
        þ
þ²=1+þ
þ²-þ-1=0  D=5     þ'=  1-~ -0,618     þ''=~ 1,618
                                          2
Le nombre d'or étant positif, on a:
*On parle de rectangle d'or lorsque le rapport entre la longueur et la largeur est égal à þ.
Le rectangle d'or peut se construire à partir d'un carré et d'un compas:
Soit un carré ABCD de côté 1 et I le milieu de [AB].
On trace le point E sur la droite (AB) tel que IE=IC.
Dans le triangle IBC rectangle en B, on a IC2=BC2+BI2
                                                             IC2=1 2+(1/2)2
                                                                            IC2=5/4
                                                             IC =sqrt5/2
                                                       
AE=AI+IE=AI+IC= 1 + sqrt5= 1+sqrt5
                               2      2          2
On obtient donc un rectangle d'or de longueur AE=þ et de largeur AD=1.
*Lorsque l'on part d'un rectangle d'or ABCD et que l'on accole un carré BB'C'C à sa longueur, on obtient un autre rectangle AB'C'D.
Soit AB l'unité de longueur. On a AB=1 et BC=þ (donc BB'=þ).
AB'=AB+BB'=1+þ=þ2          (cf les propriétés du nombre d'or)
AB'= þ 2=þ                              Le rectangle obtenu est donc un retangle d'or
AD     þ
 


 

*L'angle égal à 360° /(þ=1) (soit environ 137, 5°) est appelé angle d'or. On le retrouve assez souvent dans la nature, comme par exemple dans la pomme de pin
 

III-Les propriétés du nombre d'or

 *þ2 =  (1+sqrt5)2/2² =  (1+2sqrt5+5)/4 =  (6+2sqrt5)/2 =  (3+sqrt5)/2  =1+ (1+sqrt5)/2
 
þ²=1+þ

*þ-1=     2     =         2(1-sqrt5)      =  2-2sqrt5 =  1-sqrt5 =  -1+sqrt5  =  1+sqrt5 -2 =  1+sqrt5  -1
          1+sqrt5      (1+sqrt5)(1-sqrt5)       1-5           -2                2                  2                2
þ-1 =þ-1
 
 
 
 
 
 

source originale - d'après un document de Barbara Petit